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初一下册数学试卷及答案

作者:   发布时间:2011-06-12 19:46:45   浏览次数:5268

初一下册数学2011-03-12 23:19第五章 一元一次方程
1 你今年几岁了
Ⅰ 学法导引
  回忆小学学过的方程知识、弄明白方程是含有未知数的等式,但等式不一定是方程等式与代数式的区别在于代数式中一定不含等号,对于教材中的三个实际问题多体会是如何列方程的,结合教材中的天平实验去理解等式性质.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 1.一元一次方程的概念.
  含有未知数的等式叫方程.在一个方程中,只含有一个未知数x,并且未知数的指数是1次,这样的方程叫一元一次方程.
  判断一个方程是否为一元一次方程,看好3个条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的指数为1次;(3)分母中不含未知数,三个条件缺一不可.
 A.2   B.3
 C.4   D.5
  解析 方程(1)分母中含有未知数x,∴ 它不是一元一次方程;方程(4)中,未知数x的最高次数是2,而不是1,∴ 它不是一元一次方程;方程(6)中,含有两个未知数,∴ 它不是一元一次方程;方程(2)(3)(5)是一元一次方程,它们都同时满足上述三个特点.
  解 B
2.等式的基本性质:(1)等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式;(2)等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式.在使用这两条性质时,等式左、右两边所作的运算应完全相同,才能保证所得结果仍是等式.
  【例2】 利用等式性质,在括号内填上适当的数或式子,并说明变形的依据以及是怎样变形的.
  (1)如果5x+2=2x-4,则3x=________,x=________;
  解析 首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依据,再对等式的右边进行相应的变形得出结论.
  解 (1)根据等式性质1,两边同时减去2x+2,得3x=-6,
  再根据等式性质2,两边同时除以3,得x=-2;
  剖析难点 由具体数量关系列方程,并能利用等式性质对方程进行变形,得到x=a的形式,并能说出每步变形的依据.
  【例3】 买5支铅笔,付出3元钱,还差0.25元,问每支铅笔售价是多少元?
  解析 设每支铅笔售价为x元,那么买5支需5x元,根据题意,得5x=3+0.25.
  点击易错点 等式基本性质的应用.
  【例4】 下列说法正确的是 (  )
  A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=c
  D.在等式2x=2a-b的两边都除以2,可得x=a-b
  错解 A(C或D)
  错解分析 
  A中a代表任意数,当a≠0时成立,但当a=0时不能应用等式性质(2),结论不一定成立,如0×2=0×(-3)但2≠-3∴ 在等式两边同除以一个数时,要保证除数不为0才行;
  C中性质应用错误,应在等式两边都乘以a;
  正解 B
Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 一元一次方程的概念与绝对值、解简单方程的综合.
  解析 一元一次方程需满足:(1)未知数系数不为0;(2)未知数指数为1
  解 由已知得a-4≠0,a≠4,|a|-3=1,所以当a=-4时,
  应用能力升级 应用等式的基本性质,解方程,比较代数式的大小.
  【例6】 已知4m+2n-5=m+5n,比较m与n的大小.
  解析 要比较m与n的大小,利用等式的性质从已知中求出m-n或n-m的值,即可判断m、n大小.
  解 4m+2n-5=m+5n,两边都减去m+5n-5得3m-3n=5,
  ∴ m>n.
  创新能力升级 列方程问题可以问什么设什么,还可以间接设未知数,比较容易列出方程,培养学生的创新意识.
  【例7】 甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑,同时同向同地点出发,甲的速度是5米/秒,乙的速度是6米/秒,甲跑几圈后,乙可超过甲一圈?
  解析 (1)直接设甲跑x圈后,乙可超过甲一圈,甲跑x圈的路程是400x米,乙跑(x+1)圈的路程为400(x+1)米,即400x+400,
  (2)间接设甲跑x秒,乙可超过甲一圈.甲跑x秒的路程为5x米,乙跑x秒的路程为6x米,而二者的差恰好等于1圈的路程400米.
  答:甲跑5圈后,乙超过甲一圈.
  解法2 (间接设法)
  答:甲跑5圈后,乙可超过甲一圈. 1 你今年几岁了
  参考答案
  数学理解
  1.略
  问题解决
  1.(1)可设1990年6月底每10万人约有x人只具有小学文化程度,则x(1-3.66%)=35 701.
   (2)可设用x个月付清,则3 000+1 500x=19 500.
  随堂练习(课本第170页)
  习题5.2(课本第170页)
  数学理解
  1.A
  2.错在如果x是0,就把0作除数了.
  问题解决
  1.可设陆地面积为x亿平方千米,则2.4x+x=5.1,陆地面积为1.5亿平方千米,海洋面积为3.6亿平方千米.
  2.84
  3.4周
  4.可设黑皮块有3x块,则白皮块有5x块,因此3x十5x=32,x=4.所以黑色皮块有12块,白色皮块有20块.

2 解方程
Ⅰ 学法导引
  弄明白移项的根据是等式性质1,移项时先变号,求解一元一次方程的步骤有时可以省略一些,有些步骤可能用不上,有些步骤可以前后顺序颠倒,使运算简化.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 解一元一次方程.
  解一元一次方程的思路是对方程进行恒等变形,把方程“转化”成x=a的形式.具体步骤、做法、注意事项如下:
  一. 去分母 变形依据:等式性质2;具体做法:在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数;注意事项:不要漏乘不含分母的项,分子是多项式时加括号
  二. 去括号 变形依据:分配律去括号法则;具体做法:先去小括号再去中括号、大括号;注意事项:不要弄错符号,不要漏乘括号里的项
  三. 移项   变形依据:移项法则;具体做法:含有未知数的项移到方程左边,不含未知数的项移到方程右边;注意事项:要变号,不要漏项
  四. 合并同类项  变形依据:合并同类项法则;具体做法:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;注意事项:系数相加,字母及字母指数不变
  五. 系数化为1  变形依据:等式性质2;具体做法:等式两边同除以未知数的系数a,
  【例1】 解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).
  解析 从去括号开始解方程,去括号时,利用乘法分配律,千万不要漏乘,要特别注意是否需要变号.
  解 去括号得2x-4-12x+3=9-9x,
  合并同类项得-10x-1=9-9x,
  移项得-1-9=-9x+10x,
  合并同类项得x=-10.
  剖析难点 解带分母的一元一次方程
  在解带分母的一元一次方程时,去分母时不要漏乘不含分母的项,再要注意分数线还具有括号作用,去掉分母后应把分子带上括号.
  解 去分母得 5(x-1)=20-2(x+2),
  去括号得 5x-5=20-2x-4,
  移项合并同类项得 7x=21,
  系数化为1得 x=3.
  点击易错点 常见错误为(1)移项不变号;(2)去分母时出现漏乘现象;(3)错把解方程写成连等式;(4)去括号时出现漏乘现象或出现符号错误.
  【例3】 解方程
  (2)3x+1=x+9;
  (3)2(x+3)-5(1-x)=3(x-1).
(2)3x+1=x+9,
     3x+1=x+9=2x+8=x=4.
(3)2x+3-5-5x=3x-3,
     2x-5x-3x=-3-3+5.
  错解分析 (1)去分母时,不含分母的项漏乘,移项没变号;系数化为1时,除数和被除数颠倒位置.
(2)错解原因是对方程变形不理解,受代数运算时使用连等号的影响对方程进行同解变形时,方程解虽不变,但新方程两边与原方程的两边值都不相等了.
(3)去括号应用分配律时漏乘2(x+3)=2x+6;-5(1-x)去括号后第二项未变号,应为-5+5x.
(2)3x+1=x+9,
     3x-x=9-1,
     2x=8,
     x=4.
(3)2(x+3)-5(1-x)=3(x-1),
     2x+6-5+5x=3x-3,
     2x+5x-3x=-3-6+5,
     4x=-4.
     x=-1.
Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 与分数基本性质的综合,与倒数、相反数、绝对值的综合等.
  解 利用分数基本性质将方程变形
  400-600x-6.5=1-100x-7.5,
  移项、合并同类项得500x=400,
  点拨 此题第一步变形应与去分母区别开.
  应用能力升级 利用方程思想解决某些求字母取值的问题.
  解析 把S=120,b=18,h=8代入公式中,得到一个关于a为未知数的一元一次方程,求a.
  创新能力升级 正确理解题的意思,对于“方程的解”有更进一步的运用.
  方程右边的-1没有乘3,因而求得方程的解为x=2,试求a的值,并正确的解方程.
  解析 对于这样的题:按他的错解,把a求出后,再解方程.
  解 按照错解,去分母得2x-1=x+a-1,把x=2代入得2×2-1=2+a-1
  得a=2.
  去分母得2x-1=x+2-3,
  移项得2x-x=-1+1,
  合并同类项得x=0.2 解方程
  参考答案
  习题5.3(课本第173页)
  2.(1)人口问题:约1 422人;
   (2)足球场长90米,宽65米.
  问题解决
  1.1 323-x=(35-20)×1.5%·x
  1.225x=1323,∴ x=1 080(元)
  习题5.4(课本第175页)
  问题解决
  1.设个位数为a,十位数为b,则b=2a,(10b+a)-(10a+b)=36,解得a=4,b=8.
  故这个两位数为84.
  问题解决

3 日历中的方程
Ⅰ 学法导引
    仔细观察某月的日历,总结出日历中某竖列上相邻的三个数及某一横行上相邻三个数之间的规律,恰当设出未知数,找到等量关系,列出方程并求解,切记判断解的合理性.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 日历问题中数字之间的关系.
  同一竖列中,上面一个数字比它下面一个数字小7,同一横行中前一个数字比后一个数字小1,要列方程解应用题,就要认真审题,找出一个相等关系,利用这个相等关系列出方程并求解,注意验证解的合理性.
  【例1】 在一份日历中,任意框出一个竖列上四个数,观察它们之间有什么关系.
  (1)如果框出的四个数和为58,这四天分别是几号?(2)四个数的和为38呢?
  解析 设法用一个未知数表示圈出的四个数,再根据题设中的等量关系,列出方程求解.
  解 (1)设最小的一个数为x,则其余3个数分别为x+7、x+14、x+21,
根据题意得
  x+x+7+x+14+x+21=58,
  4x=16,
  x=4.
  因此这四天分别是4号、11号、18号、25号.
  (2)设最小的一个数为x,则其余3个数分别为x+7、x+14、x+21,
根据题意得 
  x+x+7+x+14+x+21=38,
  4x+42=38,
  4x=-4,
 x=-1.
  因为日历上没有-1,所以不符合实际,此题无解,也就是说在日历上不可能出现一个竖列上相邻的4个数的和是38的情形.
  剖析难点 列方程.
  通过审题明确已知什么、求什么及其相互关系,设出未知量,找出等量关系,从而建立方程求解.
  【例2】 下列的数阵由50个奇数排列而成.
  (1)图中框内的4个数有什么关系?
  (2)在数阵图中任意做一类似(1)中的框,设其中的一个数为x,那么其他三个数怎样表示?
  (3)如果四个数的和是168,能否求出这四个数?
  (4)如果四个数的和是322,能否求出这四个数?
  解析 观察数阵中数的规律,设好未知数求解.
  解 (1)观察数阵图中数的规律发现,框中同行中两个数相差2,第二行的两个数与第一行相应的两个数都相差12;
  (2)设左上角的数为x,则其他三个数分别是为x+2,x+12,x+14;
  (3)设左上角的数为x,
  则x+(x+2)+(x+12)+(x+14)=168,
  4x+28=168,
  4x=140,
  x=35,
  x+2=37,x+12=47,x+14=49,
  所以这四个数分别是35,37,47,49.
  (4)不存在这样的四个数.
  x+(x+2)+(x+12)+(x+14)=322,
  ∴ 不存在这样的四个数
  点击易错点 忘记了检验解的合理性.
  【例3】 如果下列各数是某月的三个日期之和,请问有哪几个可能是竖排相邻的?18,24,40,56,72,108.
  错解 有18,24,72,108.
  错解分析 错解的原因在于误认为只要能被3整除即可,这只满足竖排的第一个条件,另外还应注意这三个数的和应在24~72之间,这是因为这三个数之和除以3后所得结果减去7应不小于1,这个结果加上7后不大于31,如18÷3=6,6-7=-1<1不符合题意;108÷3=36,36+7=43>31,不符合题意.
  正解 有24,72两个.
  Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 数字问题是常见的,组成两位数时需十位数字乘以10加个位数字.
  【例4】 一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小4,如果把十位与个位上的数字对调后,那么所得的两位数比原两位数的2倍少12,求原两位数.
  解析 可设原两位数个位上的数字为x,十位上的数字为x-4,等量关系是:新两位数=原两位数×2-12.
  解 设原两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为x-4.新两位数十位上的数字为x,个位上的数字为x-4,
  根据题意得:10x+(x-4)=[10×(x-4)+x]×2-12,
  解得x=8,∴ x-4=4.
  ∴ 所求的原两位数是48.
  创新能力升级 对含有2个未知数的方程进行讨论,找出问题答案,培养学生创新意识.
  【例5】 光明学校学生利用暑假分两批进行为期一周的军训,小刚和小亮分别在第一批与第二批,小刚说:“我军训一周,这七天日期之和是84,猜猜我是几号出发的?”小亮说:“我也军训了一周,这七天日期之和与我出发的月份加在一起正好也是84,猜猜我几号军训结束的?”
  解析 利用已知条件找出等量关系,可设中间日期是x号.
  解 设小刚军训这七天最中间的日期是x号,则另外六天是x-3,x-2,x-1,x+1,x+2,x+3,根据题意得.
  (x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=84,
  7x=84,
  x=12,x-3=9,
  ∴ 小刚是9号出发的.
  设小亮军训这七天最中间的日期是y号,他出发的月份是m月,
  根据题意得
  (y-3)+(y-2)+(y-1)+y+(y+1)+(y+2)+(y+3)+m=84
  7y+m=84,
  ∵ y,m是正整数,且1≤m≤12,
  ∴ m=7,y=11,y+3=14.
  ∴ 小亮是14号军训结束的.3 日历中的方程
  参考答案
  习题5.6(课本第180页)
  问题解决
  1.做游戏(略).
  2.15号或16号.(提示:可设中间那天是x号,则
  (x-3)+(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=84;
  或设第一天为x,则
  x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=84.)
  3.(1)108,114,120.(提示:可设中间那个数是x,则
     x-6+x+x+6=342;
     或设第一个数是x,则x+x+6+x+12=342;
     或设最大的那个数是x,则x+x-6+x-12=342.)

4 我变胖了
Ⅰ 学法导引
  在前两节的基础上,进一步熟悉列方程解应用题的一般步骤,通过分析图形问题中的数量关系,抓住变化前后,哪些量没有发生变化,学会“变中找不变”,也就是解决这类问题的等量关系,同时还应注意解的合理性.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 分析图形问题中的数量关系,建立方程.
  长方体体积=长×宽×高;
  长方形周长=2(长+宽);
  长方形面积=长×宽.
  常见的几种情况:
  1.形状发生了变化,而体积没变,相等关系:变化前后体积相等;
  2.形状、面积发生变化,而周长没变,相等关系:变化前后的周长相等;
  3.形状、体积不同,但根据题意能找出体积之间的关系,把这个关系作为相等关系.
  【例1】 用直径为4cm的圆钢,铸造成三个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件,问需要截取多长的圆钢?
  解析 这是一道等积变形题,其中的等量关系是铸造前截取的圆钢体积等于铸造后三个圆柱形零件的体积和,由这一等量关系可列方程求解.
  答:需要截取12cm的圆钢.
  点拨 题中给的是“底面直径”而不是“底面半径”,应注意转化.
  剖析难点 培养学数学、用数学的意识,提高分析问题、解决问题的能力.
  【例2】 两个长方形长与宽的比都是2∶1,大长方形的宽比小长方形的宽多3cm,大长方形的周长是小长方形周长的2倍,求这两个长方形的面积.
  解析 要求两个长方形的面积应先求出边长,利用题目所给的长与宽的比是2∶1及两个长方形的周长的关系可间接设未知数.
   解 设小长方形的宽为xcm,则小长方形的长为2xcm,大长方形的宽为(x+3)cm,大长方形的长为2(x+3)cm.
  根据题意,得2[(x+3)+2(x+3)]=2×2(x+2x),解得x=3.
  点击易错点 单位不统一;审题不清,没有弄清各个量所代表的意义;公式应用错误.
  【例3】 有一个底面直径为0.2米的圆柱形水桶,把936克重的钢球(球形)全部浸没在水中,如果取出钢球,那么液面下降多少厘米?(一立方厘米钢重7.8克,π取3.14,结果精确到0.01).
  解析 本题的相等关系是:液面下降后减少的体积=钢球的体积.
  错解分析 单位没有统一,水桶的底面直径单位是米,而钢球的体积单位是立方厘米.
  错解分析 没有弄清0.2所代表的意义,0.2表示的是底面直径,而不是半径.
  解方程得x≈0.38(厘米).
  答:液面下降了约0.38厘米.
Ⅲ 能力升级平台
  应用能力升级 从解题中体会数学的应用价值,增强应用意识.
  【例4】 一个长方形的养鸡场的长边靠墙,墙长14米,其他三边用竹篱笆围成,现有长为35米的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5米;小赵也打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多2米,你认为谁的设计符合实际?按照他的设计,鸡场的面积是多少?
  解 根据小王的设计可以设宽为x米,长为(x+5)米,
根据题意,
   得2x+(x+5)=35,
     3x=30,
    x=10.
 因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米),而墙的长度只有14米,小王的设计是不符合实际的.
 根据小赵的设计可以设宽为x米,长为(x+2)米,
根据题意,
   得2x+(x+2)=35,
     3x=33
     x=11.
 因此小赵设计的长为x+2=11+2=13(米),而墙的长度是14米,显然小赵的设计符合要求,此时鸡场的面积为11×13=143(米2).
 综合能力升级 培养学生应用数学的意识,提高学生综合分析问题的能力.
 【例5】 在一个底面直径为5cm,高18cm的圆柱形杯内装满水,将杯内的水倒入一个底面直径为6cm,高为13cm的圆柱形瓶中,问能否完全装下?若装不下,那么杯内的水还有多高?若未能装满,瓶内的水面离瓶口的距离.
 解析 本题有两个问题:(1)能否装下;(2)能装下或不能装下的具体问题.
   ∴ 未能装满.
  设此时瓶内水面离瓶口的距离为xcm,
  创新能力升级 将实际问题转化为数学模型,在转化过程中,培养创新意识.
 【例6】 如图5-4-1所示,地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形,如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,则所钉长方形的长、宽各是多少?面积是多少?
 解析 由于直角三角形有两个锐角,所以应讨论两种情况:去掉∠A顶点的钉子围成一个长方形,此时BC为长方形的一条边;或去掉∠B顶点的钉子围成一个长方形,此时AC为长方形的一条边,把AC或BC分别看作长方形的长,把宽设为x,等量关系为:三角形周长=长方形周长.
 解 设长方形的宽为x,
 当去掉∠A顶点的针子时,6+8+10=6×2+2x,
 解得x=6,∴ 长方形的长为6,宽为6,面积S1=6×6=36.
 当去掉∠B顶点的钉子时,6+8+10=8×2+2x,
 解得x=4,∴ 长方形的长为8,宽为4,面积S2=8×4=32.
 答:所钉长方形的长为6,宽为6,面积为36,或长为8,宽为4,面积为32.
4 我变胖了
  参考答案
  随堂练习(课本第184页)
  1.长为16 cm,宽为10 cm(提示:可设长方形的长为x cm,则
   2(x+10)=10×4+6×2)
  习题5.7(课本第186页)
  数学理解
  1.说明第二个容器的容积(即圆柱的体积.)与第一个容器装水部分的容积相等.
  问题解决
5 打折销售
Ⅰ 学法导引
  去商场调查,了解商品打折的有关情况,以及商品利润知识,审清题意,搞清楚每次提价或降价的基数是什么,理清头绪,寻找这类问题的等量关系,将打折销售问题转化为列方程解应用题问题.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 与利润有关的公式;列方程解应用题的一般步骤.
  商品的利润、商品的利润率、进价、销售价的关系;商品的利润=商品的销售价-商品进价.
  与商品打折销售相关的关系式除以上两个关系式外,还有一个关系式是:
  售价=标价(或原价)×打折数.
  列方程解应用题的一般步骤:审:审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;找:找出一个能够表示应用题全部含义的相等关系;设:设未知数(一般求什么,就设什么为x);列:根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程;解:解所列出的方程,求出未知数的值;答:检验所求的解是否符合题意,写出答案(包括单位名称).
  【例1】 一次买10斤鸡蛋,打八折比打九折少花2.5元钱,则这10斤鸡蛋的原价是多少元?
  解析 明确八折的意思就是原价的80%,本题等量关系是:10斤鸡蛋九折的价格-10斤鸡蛋八折的价格=少花的钱,可设10斤鸡蛋原价为x元.
  答:这10斤鸡蛋的原价是25元.
  剖析难点 理解商品打折的有关情况及商品利润率有关知识.
  利润=售价-进价,利润=进价×利润率.
  【例2】 东方商场把进价为1980元的某商品按标价的8折出售,仍获利10%,该商品的标价为多少元?
  解析 该商品售价为标价的8折即x×80%,利润=售价-进价=x×80%-1980
  ∴ 利润还等于利润率×进价,即1980×10%,可得等式x×80%-1980=1980×10%.
  解 设标价为x元,
  根据题意得x×80%-1980=1980×10%,
  解得x=2722.5元.
  答:该商品的标价为2722.5元.
  【例3】 某商品售价为a元,盈利20%,则进价为多少元?
  错解 a(1-20%).
  错解分析 盈利20%,是指以进价为基数,增长了20%就是售价,即若设进价为x元,则有x(1+20%)=a.
  [想一想] 某商店出售一种商品,有如下几种方案:(1)先提价10%,再按九折销售;(2)先降价10%,再提价10%;(3)先提价20%,再八折销售,用这三种方案调价的结果是否一样?最后是否都恢复到原价?
  ∴ 方案一与方案二调价结果一样,与方案三不一样,最后都没有恢复到原价.
Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 常用量售价、进价、利润、利润率、标价、打折数之间的相互关系,已知几个量,求出另外一个或几个量.
  【例4】 一双皮鞋,按成本加五成作为售价,后因季节性原因,按原售价的七五折降低价格出售,降价后的新售价是每双63元,问:这批皮鞋每双的成本是多少元?按降价后的新售价每双还可赚多少元?
  解析 一双皮鞋成本(X元)__加五成(1+50%)__一双鞋售价(1+50%·x元)__按七五折降价(75%)__降价后每双售63元(1+50% x·75%元)
  解 设一双皮鞋成本是x元,那么每双皮鞋原售价是(1+50%)·x元,
  根据题意,得(1+50%)x·75%=63,
  解得x=56.63-56=7.
  答:每双皮鞋的成本是56元,降低售价后每双可赚7元.
  创新能力升级 打折销售问题与现实生活密切相关,且是大家经常遇到的问题,在各类考试中出现率最高.
  【例5】 商场出售的A型冰箱,每台售价2190元,每日耗电量1度,B型节能冰箱每台售价比A型高出10%,但每日耗电量却为0.55度,现将A型冰箱打折出售,问商场至少打几折,消费者购买才合算?(按使用期为10年,每年365天,每度电价为0.4元计算)
  解析 本题等量关系为A型冰箱打折后的售价+10年电费=B型冰箱售价+10年电费.
  答:商场至少打8折,消费者购买A型冰箱才合算.  5 打折销售
  参考答案
  习题5.8(课本第188页)
  数学理解
  1.学生自编习题(略)
  问题解决
  1.250元(提示:可设这种商品的成本价为x元,则
    x(1+20%)×90%=270)
  2.10台(提示:①可设现在应销售x台,则
    2 500×80%×x=100 000,解得 x=50,
    50-100 000÷2 500=10(台);
    ②可设销售量应增加x台,则
    100 000×(1-80%)=2 500×80%×x)

6“希望工程”义演
Ⅰ 学法导引
  通过读题找到题中要求的两个未知数及两个等量关系,设出一个未知数,用两个等量关系中与未知数相关的一个等量关系把另一个未知数表示出来,再根据另一个等量关系列出方程,学会借助表格解决复杂问题的方法.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 分析复杂问题中的数量关系,寻找应用题中的相等关系,在本节所涉及到的和倍、差倍问题中要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定相等关系列出方程.
 【例1】 七年级数学兴趣小组,买日记本和练习本共花65.6元,已知日记本每本2.4元,练习本每本0.7元,练习本比日记本多14本,购买日记本和练习本各多少本?
 解析 这个问题中包含两个等量关系:
 练习本数-日记本数=14本(1),
 买日记本花去的钱+买练习本花去的钱=65.6元(2).
 我们用第一个等量关系设买日记本x本,则购买练习本为(x+14)本,再利用第二个等量关系列方程.
 解 设购买日记本x本,则购买练习本(x+14)本,
 根据题意,得 2.4x+0.7(x+14)=65.6,
 解这个方程,得 x=18,
  ∴ x+14=18+14=32.
  答:购买日记本和练习本分别是18本和32本.
  剖析难点 解较复杂的应用题,对于较复杂的应用题应采用列表分析的方法或分步列出代数式的方法去分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题.
 【例2】 甲、乙、丙三个粮仓共存粮食80吨,已知甲、乙两仓存粮数之比为1∶2,乙、丙两仓存粮数之比为1∶2.5,求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨?
 解析 由题意知:甲∶乙=1∶2,乙∶丙=1∶2.5,为了研究问题方便通常把两个比例式统一起来,将1∶2.5两项同乘以2得2∶5,于是有甲∶乙∶丙=1∶2∶5,本题等量关系是:甲仓存粮+乙仓存粮+丙仓存粮=总存粮,本题适合间接设未知数的方法,设每份为x.
 解 由甲∶乙=1∶2,乙∶丙=1∶2.5=2∶5,得甲∶乙∶丙=1∶2∶5,设甲仓存粮x吨,则乙仓存粮2x吨,丙仓存粮5x吨,
 由题意,得 x+2x+5x=80,
 解得x=10,
 2x=20,5x=50.
 答:甲、乙、丙三仓分别存粮10吨、20吨、50吨.
 点击易错点 审题不清,没有弄清有关量之间和、差、倍、分关系,或把关系混淆、颠倒.
 错解分析 解法中有两处错误,一是没弄清“多”与“少”,将男生、女生人数搞混;二是按所列方程只能求出x=-48而不是x=48.
  答:全班共有48人.
Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 当两个未知数的关系没有直接体现时,可间接的设未知数.
 【例4】 我区某学校原计划向西部地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,问初中学生和高中学生各比原计划多捐赠了图书多少册?
 解析 本题相等关系有两个:(1)初中学生原计划捐书册数+高中学生原计划捐书册数=3500;(2)初中学生原计划捐书册数×120%+高中学生原计划捐书册数×115%=4125.显然本题若设直接未知数不易求解,若设初中学生原计划捐书x册.则高中学生原计划捐书(3500-x)册,再由相等关系(2)可列出方程,因而可设间接未知数来求解.
 解 设初中学生原计划捐书x册,则高中学生原计划捐书(3500-x)册,
 由题意,得120%x+115%×(3500-x)=4125,
 解得 x=2000,
 3500-2000=1500.
 ∴ 2000×(120%-1)=400,1500×(115%-1)=225.
 答:初中学生、高中学生比原计划各多捐赠了图书400册、225册.
 创新能力升级 把列方程解应用题体现在决策问题中,通过计算,合理决策.
 【例5】 某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润可涨至7500元.当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季节等条件限制,公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行方案.
 方案一:将蔬菜全部进行粗加工.
  方案二:尽可能多地对蔬菜进行精加工,没有来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售.
  方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成.
  你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
  解析 分别算出每种方案所得的利润,进行比较.
  解 方案一:由于16×15=240>140,故全部进行粗加工,可获利润140×4500=630000(元);方案二:6×15=90,只能精加工90吨,可获利润90×7500+50×1000=725000(元);方案三;设用x天进行精加工,则6x+16(15-x)=140,解得x=10,从而粗加工的时间为5天,可获利润10×6×7500+5×16×4500=810000(元).显然有810000>725000>630000,∴ 选择方案三获利最多. 6 “希望工程”义演
  参考答案
  随堂练习(课本第190页)
1. 单价为18元的书有9本,10元的有1本.
提示:可设单价为18元的买了x本,则单价为10元的买了(10-x)本,可列方程
  18x+10(10-x)=172
  习题5.9(课本第190页)
  数学理解
  1.可能,288张(提示:可设学生票数为x张,则5x+8(1 000-x)=6 932,解得x=356.或票款由6 950元减少为6 932元,减少了18元,在总票数不变的前提下,只可能是成人票减少,学生票增加,并且两者变化量相等,设此变化量为x张,则8x-5x=18,得x=6,所以,学生票:350+6=356(张),成人票:650-6=644(张),成人票比学生票多售出644-356=288(张)
  问题解决
  1.A种3.8元,B种2.8元(提示:可设B种果汁的单价为x元,则A种果汁的单价为(x+1)元,方程为3x+2(x+1)=16)
  2.有数学书50本,语文书40本(提示:可设有数学书x本,则语文书有(90—x)本,方程为0.8x+1.2(90-x)=88)
7 能追上小明吗
Ⅰ 学法导引
 首先回顾路程、速度、时间的关系:路程=速度×时间.对于追及问题有:速度快的路程-速度慢的路程=路程差;相遇问题:两者路程和=总路程,并学会用线段图来解决复杂问题,一定注意同一种量的单位应统—.
Ⅱ 思维整合
  解析重点 利用“线段图”找出行程问题中的等量关系,从而列出方程.
  行程问题常用公式:路程=速度×时间(时间=路程÷速度,速度=路程÷时间).
  追及的基本等量关系式:(1)同地不同时的追及问题:慢者行驶路程+先行的路程=快者行驶路程;(2)同时不同地的追及问题:
  快者行驶的路程-慢者行驶的路程=间隔的路程;(3)曲线追及问题(同时同地同向);
  快者行驶路程-慢者行驶的路程=曲线周长.
  相遇问题的基本等量关系式:(1)直线相遇问题:甲行驶的路程+乙行驶的路程=全程;(2)曲线相遇问题:甲行驶的路程+乙行驶的路程=曲线周长.
  顺水的速度=静水的速度+水流速度;逆水的速度=静水的速度-水流速度.
 【例1】 一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5千米 / 小时的速度行进,走了18分钟的时候,学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发,骑自行车以14千米 / 时的速度按原路追上去.通讯员用多少时间可以追上学生队伍?
 解析 由于通讯员从学校出发按原路追上去,所以与学生是同向而行,于是有相等关系:通讯员行进路程=学生行进路程,设通讯员追上学生队伍需要x小时,行进了14xkm,学生在通讯员出发后走了5xkm.相等关系可以用图5-7-1表示出来.
 解 设通讯员用x小时可以追上学生队伍.
 剖析难点 培养学生对文字语言、图形语言、符号语言进行相互转换的能力,借助线段图分析复杂问题中的等量关系,从而建立方程.
甲骑自行车、乙步行,甲的速度比乙的速度的2倍快2千米 / 时,甲先到达B地后,立即由B地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发时间为3小时,求两人速度.
 解析 甲、乙两人行走的路程如图5-7-2表示(图中实线表示甲走的路程,虚线表示乙走的路程):
 若设乙的速度为x千米 / 时,则甲的速度为(2x+2)千米 / 时,所以甲走的路程是3×(2x+2)千米,乙走的路程是3x千米.
 解 设乙的速度为x千米 / 时,则甲的速度为(2x+2)千米 / 时,根据题意,得
 答:甲的速度是12千米 / 时,乙的速度是5千米 / 时.
 点击易错点 单位不统一,速度单位表示错误.
 【例3】 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地出发,相向而行,3分钟后相遇,已知乙的速度是5米 / 秒,求甲的速度.
 错解 设甲的速度是x米 / 秒,由题意得 3x+3×5=1500.
 错解分析 速度单位错误,速度常用单位有米 / 秒、千米 / 时,也可写为“每秒钟多少米”、“每小时多少千米”;单位不统一,3分钟应化成秒再参与运算.
 正解 设甲的速度是x米 / 秒,由题意得 3分=180秒,
 [想一想] 甲、乙两人相距5千米,分别以2千米 / 时、4千米 / 时的速度相向而行,同时一只小狗以12千米 / 时的速度从甲处奔向乙,遇到乙后立即掉头奔向甲,遇到甲后又奔向乙,……直到甲、乙人相遇,求小狗所走的路程.
Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 解决航行问题(轮船顺、逆流航行;飞机顺、逆风飞行)及相遇追及混合问题.
  【例4】 一船航行于A、B两个码头之间,顺水航行需3小时,逆水航行需5小时,已知水流速度是4千米 / 时,求这两个码头之间的距离.
  解析 本题涉及到的公式有:(1)顺水航行速度=静水中的速度+水速;(2)逆水航行的速度=静水中的速度-水速.
  解法1 两个码头之间的距离是不变量,以此作为相等关系列出方程,设间接未知数来解.
  设船在静水中的速度为x千米 / 时,则船顺水航行的速度为(x+4)千米 / 时,逆水航行的速度为(x-4)千米 / 时,由题意,得3(x+4)=5(x-4),解得x=16.
  3(x+4)=60千米.
 答:这两个码头之间的距离是60千米.
  解法2 由解析知:顺水航行速度-水速=静水中的速度;逆水航行的速度+水速=静水中的速度,由此可见:顺水航行速度-水速=逆水航行速度+水速以此作为相等关系,设直接未知数来解.
  答:这两个码头之间的距离为60千米.
  应用能力升级 从开放性题中学会全面的考虑问题,比较各种方法的优劣,解决生活中遇到的问题.
  【例5】 8人分别乘两辆小汽车赶往火车站,其中一辆小汽车在距火车站15千米的地方出了故障,此时离火车停止检票时间还有42分,这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车,连司机在内限乘5人,这辆小汽车的平均速度为60千米 / 时,这8人能赶上火车吗?
  解析 这是开放性问题,可以分多种情形讨论.第一种情形:小汽车分2批送8个人,如果第2批人在原地不动.第二种情形:如果在汽车送第一批人的同时,其他人先步行,可节省一点时间.第三种情形:如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人,然后掉头再接另一批人使得两批人同时到达火车站,比较省时.
  第二种情形:如果设这些人步行的速度为5千米 / 时,汽车送完第一批人后,用了x小时与第二批人相遇,
  第三种情形:如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人,然后掉头再接另一批人,使得两批人同时到达火车站,那么比较省时,需要37分.
  创新能力升级 用本节知识解决相对运动问题:包括错车、过桥、过隧道等问题.
  【例6】 在一段双轨铁道上,两列火车迎头驶过,A列车车速为20米 / 秒,B列车车速为25米 / 秒,若A列车全长200米,B列车全长160米,两列车错车的时间为多少秒?
  解析 如图5-7-3,根据题意,用两支长短不等的笔模拟两列火车错车的全过程,并画出线段图,分析已知量,未知量和等量关系.
  解 设两列车错车的时间为x秒,
  根据题意得,
  20x+25x=200+160,x=8.
  答:两列车的错车时间为8秒.
7 能追上小明吗
  参考答案
  习题5.10(课本第192页)
  数学理解
  1.略
  问题解决
  1.(1)经过10秒两人相遇(提示:可设经过x秒两人相遇,则4x+6x=100.)
   (2)经过5s(提示:可设x s后小明能追上小彬,则6x=4x+10.)

8 教育储蓄
  Ⅰ 学法导引
  到银行了解储蓄的不同种类及教育储蓄利率,弄明白与储蓄有关的概念及计算公式,特别地国家对教育储蓄及国库券暂不征收利息税.
  Ⅱ 思维整合
  解析重点 分析教育储蓄中的数量关系列出方程,并能用计算器处理数据.顾客存入银行的钱叫本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金与利息的和叫本息和,存入的时间叫期数,每个期数内的利息与本金的比叫利率.
  【例1】 爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7%),3年后能取5405元,他开始存了多少元?
  解析 利息=年利率×期数×本金.
  解 设他开始存了x元,
     x(1+2.7%×3)=5405.
     x=5000元.
  剖析难点 掌握有关利息税的概念及公式解决储蓄问题.
  利息税=利息×20%,实得利息=利息×(1-20%)即利息×80%.
  【例2】 小红存入银行一笔钱为10000元,定期二年,二年后扣除利息税后得到本息和10360元,问她存钱时年利率是多少?
  解析 此题涉及本息和的计算公式,本息和=本金+本金×利率×期数×80%,此公式作为本题的等量关系.
  解 设年利率为x,
  根据题意得10000+10000×x×2×80%=10360,
  解得x=0.0225=2.25%.
  点击易错点 不明白利息税20%的含义.
  【例3】 某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后扣除20%的利息税得本息和2160元,求这种存款方式的年利率.
  错解 设这种存款方式的年利率为x,
  20000(1+x)(1-20%)=2160.
     错解分析 没明白20%是指利息的20%,而不是本利息和的20%.
  Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级
  【例4】一位投资者有两种选择:①中国银行发行五年期国债,年利率为2.63%;②中国人寿保险公司推出一种保险——鸿泰分红保险,投资者一次性交保费10000元(10份),保险期为5年,5年后可得本息和10486.60元,一般还可再分得一些红利,但分红的金额不固定,有时可能多,有时可能少(1)购买x元国债与5年后银行支付的本息和是多少?(2)求鸿泰分红保险的年利率,并求支付保费x元与5年后保险公司还付的本息和(红利除外);(3)请你帮助投资者分析两种投资的利弊.
  解析(1)可用本息和=本金+利息;
      (2)求年利率也可用(1)中的公式;
      (3)作为投资者得到的回报,即本息和越多越有利.
  解  (1)本息和:(1+5×2.63%)x=1.1315x.
      (2)设利率为a,
    10000(1+5a)=10486.60,a=0.97%.
    保险公司还付的本息和:(1+5×0.97%)x=1.0485x.
     (3)同样投资10000元,买5年期国债可得(1+5×2.63%)×10000=11315元;买保险5年后可得10486.60元,
      ∵ 11315-1048660=828.40元.
      ∴ 各有利弊,当保险分红多于828.40元时,买保险有利,但分红只是预测.
8 教育储蓄
  参考答案
  随堂练习(课本第194页)
  1.至多可贷16 859元.(提示:可设现在至多可以贷x元,则
    x(1+6.21%×6×50%)=20 000.)
  习题5.11(课本第194页)
  问题解决
  1.5%(提示:可设年利率为x,则25000x·80%=26 000-25 000.)
  2.18 405元(提示:可设应买这种国库券x元,则
   (1+2.89%×3)x=20 000 解得x=18 404.343 42
   取x=18 405 (注意这里要根据实际意义取舍).)
  复习题(课本第195页)
  知识技能
  2.7.5
  数学理解
  1.4年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍.(提示:可设x年后父亲年龄是儿子年龄的4倍,则 40+x=4(13+x). 解得x=-4.)
  问题解决
  1.235元(提示:可设这双鞋的标价为x元,则80%x=188)
  2.5 000元(提示:可设开始存人x元,则x(1+2.7%×3)=5 405)
  3.47,53(提示:可设第一个数为x,则第二个数为100-x,有
  x+3=100-x-3)
  4.15 km(提示:可设每小时要骑x km,则 x×l=7.5×2)
  5.爷爷赢了6盘,孙子赢了2盘.(提示:可设爷爷赢了x盘,则x=3·(8-x))
  7.10公顷(提示:可设这块麦田有x公顷,则25%x+20%(x-25%x)+6=x)
  8.(1)33岁
  9.这家商店亏了.出售这两件衣服亏8元.
  11.255 m(提示:注意3.6 km/h=1 m/s.
    可设火车速度为x m/s,则
   (x+1)×15=(x-1)×17, 解得x=16, 17×15=255(m))
  联系拓广
  1.a=7(提示:将x=5代人方程ax-8=20+a,得5a-8=20+a,解得a=7)

第六章 生活中的数据
1 认识100万
  Ⅰ 学法导引
  借助自己熟悉的事物从不同角度对大数进行感受,能通过测量、做实验的方法获得有关数据.做实验测量得出有关数据时,注意做到合理、相对准确、切实可行.例如估计100万人站在一起的土地面积,应以成年人、身体发育正常的估计.
  Ⅱ 思维整合
  解析重点 借助熟悉的事物,从不同角度对100万进行感受,发展数感.
  【例1】 (1)在下列数据中选择你的步长 (  )
   A.50米 
   B.50分米
   C.50厘米
   D.50毫米
  (2)计算出你的1万步约有多长?
  (3)计算出你的100万步约有多长?
  (4)假如你校操场一圈是400米,你若绕操场走10圈,大约走了多少步?
  解析 根据实际情况,(1)题选C,(2)(3)(4)通过计算求得.
  解(1)C;(2)50×10000=500000厘米=5000(米);
    (3)5000×100=500000(米),
      ∴ 100万步约为500000米,即50万米;
    (4)400×10=4000米,绕操场走10圈共走4000米,4000÷0.5=8000步
  所以绕操场走10圈,大约走了8000步.
  剖析难点 借助熟悉的事物,从不同角度去体验和感受100万有多大.
  【例2】 假设有一张足够大的纸,能够一直对折下去,纸厚0.1mm,折叠10次后,厚度是多少?折叠20次呢?能超过黄山最高峰(海拔1864m)的高度吗?
   解析 借助计算器计算,获得较大数据后去感受大数.
  Ⅲ 能力升级平台
  综合能力升级 与现实情况综合,从不同角度感受100万等这样较大的数,并学会估计.
  【例3】 2003年某地区的一次水灾中,由于灾情严重,大约有18万人的生活受到影响,据有关部门预测,灾情将持续一段时间,国家很重视和关心灾民,免费提供帐篷和食品.假如一个家庭平均4口人,大约需多少个帐篷?如果平均每人每天需要350克粮食,那么每天共需要提供多少吨粮食?
  解析 利用有理数的除法可求出第一个问题,利用有理数乘法可求出第二个问题.
  解 180000÷4=45000(个),
      ∴ 大约需要45000个帐篷.
  0.35×180000=63000(千克)=63(吨),
     ∴ 每天共需要提供63吨粮食.
 







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